おさの回答、不正解！

2009/6/8『長女の授業参観』について、「かつて数学が超得意科目だった」とおっしゃるpoさんから、非常に丁寧な解説が書かれたメールが届きました。了承を得ましたので、引用させていただきたいと思います。

一応自信の程は、95％以上あります。

正式な解答例）
与えられたグラフの式は、
$y=-2(x-\frac{1}4)^2+\frac{9}8$
となるので、頂点は、
$(\frac{1}4, \frac{9}8)$
となる。

x軸に平行移動したグラフの式は、
$y=-2(x-a)^2+\frac{9}8$
となるので、この式に原点(0, 0)を代入すれば、aの二次方程式となり、aの値が求まる。すなわち、
$a=\frac{3}4, -\frac{3}4$

以上より、頂点は、
$(\frac{3}4, \frac{9}8), (-\frac{3}4, \frac{9}8)$ 　・・・　答

全国の女子高生の皆さん、これが正解なのよん。（ボヤッキーの声で）

なお、poさんは、そもそも私の回答に違和感を持ち、それで考えてみる気になったそうです。せっかくですので、その思考の過程も引用させていただきます。
これを読んで、しっかり考え方を把握するよーに。＞長女

おささんの答の違和感の意味）
娘さんの授業で数学の先生がヒントを与えていますが、答は2つあります。
グラフとしての放物線の特性（y軸に平行な対称軸を持つ）を考えると、
答の形は、必ず (a, b) または (-a ,b) という形になります。

私の暗算での解答方法）
与えられた放物線のグラフは因数分解すると、
$y=-(2x+1)(x-1)$
となるので、x軸との交点は、
$(-\frac{1}2, 0), (1, 0)$
になります。
この放物線は、y軸方向に凸な放物線であり、下方に拡がっている放物線なのですが、放物線の特性上、頂点のx座標は、上記のx軸との交点の中点になります。
すなわち、
$\frac{(-\frac{1}2+1)}2=\frac{1}4$

つまり、
$(\frac{1}4, b)$
が頂点です。
（bは $x=\frac{1}4$ を代入すれば、 $y=\frac{9}8$ と出ます。）

一方、設問の放物線グラフをx軸方向に平行移動させて、原点を通るようにするには、x軸との交点は、
$(-\frac{1}2, 0), (1, 0)$
なので、x軸方向に $+\frac{1}2$ 移動させるか、または -1 移動させればよいわけです。

なので、そのときの放物線の頂点は、
$(\frac{1}4 + \frac{1}2, b)$ および $(\frac{1}4 - 1, b)$
ということになります。

つまり、
$(\frac{3}4, \frac{9}8)$ と $(-\frac{3}4, \frac{9}8)$ ・・・答
ということになります。